1.4.4 Boole-ove jednakosti
Originalna Boole-ova algebra predstavlja zatvoreni sustav sastavljen od dva elementa, 0 i 1, te operacija I, ILI i NE. Boole-ova algebra se koristi pri razvoju digitalnih sklopova s ciljem pojednostavljenja logičkih funkcija u najjednostavniji oblik. Budući se boole-ove funkcije ostvaruju u sklopovlju, boole-ova algebra predstavlja značajno pomagalo za smanjenje broja veza između sklopovlja.
Tablica 1.4-2 Temeljne boole-ove jednakosti
U tablici 1.4-2 je dan popis osnovnih jednakosti boole-ove algebre. Prvih devet jednakosti predstavljaju temeljne odnose boole-ove algebre i pružaju osnovu za rukovanje s boole-ovim izrazima. Jednakosti od broja 10 do broja 14 odgovaraju osnovnim zakonima algebre, i to jednakosti 10 i 11 zakonu izmjene članova u izrazu (zakon komutacije), 12 i 13 zakonu pridruživanja članova (zakon asocijacije), dok jednakost 14 predstavlja zakon razdiobe članova (zakon distribucije) boole-ove algebre. Jednakosti od broja 15 do broja 18 nisu primjenljive u općoj algebri, ali su vrlo korisne u boole-ovoj algebri. Jednakost 16 je poznata kao jednakost sažimanja članova; jednakost 18 kao jednakost dogovora članova. Posljednje dvije jednakosti 19 i 20 su poznate kao De Morgan-ova pravila.
Jednakosti iz tablice 1.4-2 jednostavno se provjeravaju zamijenjujući boole-ove varijable dozvoljenim vrijednostima te razvijajući lijevu i desnu stranu pojedine jednakosti. Postupak se naziva dokazom indukcijom. Npr., za dokaz jednakosti broj 16 potrebno je razviti lijevu i desnu stranu jednakosti za sve dozvoljene vrijednosti varijabli x i y. Postupak je prikazan u formatu tablice istinitosti u tablici 1.4-3
Tablica 1.4-3 Dokaz jednakosti
indukcijom
Budući izraz broj 18 predstavlja temelj sustavnog pojednostavljenja (minimizacije) boole-ove funkcije, dokazat će se njegova jednakost. Za dokazivanje služe tablice istinitosti lijeve i desne strane prikazane u tablici 1.4-4.
Tablica 1.4-4 Dokaz
jednakosti 
indukcijom
De Morgan-ova pravila utvrđuju jednakosti komplementiranja cijelog boole-ovog izraza. Jednakost broj 19 glasi “komplement zbroja (ILI) jednak je umnošku (I) komplemenata”. Slično jednakost broj 20 glasi “komplement umnoška (I) jednak je zbroju (ILI) komplemenata”.